0520 Almost all Collatz Orbits Attain Almost Bounded Values - Terence Tao

Topic: Almost all Collatz Orbits Attain Almost Bounded Values
Speaker: Terence Tao. Affiliation: University of California, 

Los Angeles; Member, School of Mathematics

Date: March 13, 2023

Define the Collatz map Col on the natural numbers by setting Col(n) to equal 3n+1 when n is odd and n/2 when n is even. The notorious Collatz conjecture asserts that all orbits of this map eventually attain the value 1. This remains open, even if one is willing to work with almost all orbits rather than all orbits. We show that almost all orbits n, Col(n), Col^2(n), ... eventually attain a value less than f(n), for any function f that goes to infinity (no matter how slowly). A key step is to obtain an approximately invariant (or more precisely, self-similar) measure for the (accelerated) Collatz dynamics.

«Η αστρονομική ερμηνεία της έννοιας του χρόνου». Μάνος Δανέζης. - YouTube

συναρτηση ψ αόρατη κβαντική κύμανση του κενου χώρου

Η κυματοσυνάρτηση Ψ είναι μια θεμελιώδης έννοια της κβαντικής μηχανικής, η οποία περιγράφει την κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος. Αν και η ίδια δεν έχει άμεση φυσική σημασία, το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της, |Ψ|², αντιπροσωπεύει την πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί ένα σωματίδιο σε μια συγκεκριμένη θέση.

Όσον αφορά την κβαντική κύμανση του κενού χώρου, αυτή αναφέρεται στις τυχαίες διακυμάνσεις των κβαντικών πεδίων ακόμα και στο απόλυτο κενό. Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας, το κενό δεν είναι πραγματικά "άδειο", αλλά γεμάτο με εικονικά σωματίδια που εμφανίζονται και εξαφανίζονται συνεχώς.

Αν θέλεις να εξερευνήσουμε περισσότερες λεπτομέρειες ή συγκεκριμένες εφαρμογές αυτών των εννοιών, πες μου! 🚀

Πες μου περισσότερα για την κυματοσυνάρτηση Ψ.

Η κυματοσυνάρτηση Ψ είναι η μαθηματική περιγραφή της κατάστασης ενός κβαντικού συστήματος. Είναι μια συνάρτηση που εξαρτάται από τις συντεταγμένες του σωματιδίου (ή των σωματιδίων) και τον χρόνο, και περιέχει όλες τις πληροφορίες για το σύστημα.

Ιδιότητες της κυματοσυνάρτησης:

• Είναι συνεχής και ομαλή σε όλες τις περιοχές όπου δεν υπάρχουν άπειρες δυναμικές ενέργειες.

• Μπορεί να είναι μονοσήμαντη ή να έχει πολλαπλές λύσεις, ανάλογα με το φυσικό σύστημα.

• Η ερμηνεία της γίνεται μέσω του τετραγώνου της απόλυτης τιμής της, |Ψ|², που δίνει την πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε μια συγκεκριμένη περιοχή του χώρου.

Εξίσωση Schrödinger:

Η εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης Ψ περιγράφεται από την εξίσωση του Schrödinger, η οποία έχει τη μορφή:

$$i\mathrm{\hslash }\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\partial }t}=\widehat{H}\mathrm{\Psi }i\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Psi\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash hat\{H\}\; \backslash Psi$$

όπου:

• $\mathrm{\hslash }\backslash hbar$ είναι η μειωμένη σταθερά του Planck,

• $\widehat{H}\backslash hat\{H\}$ είναι ο τελεστής της ολικής ενέργειας (Χάμιλτονιανή),

• $\mathrm{\Psi }\backslash Psi$ είναι η κυματοσυνάρτηση.

Η κυματοσυνάρτηση είναι η καρδιά της κβαντικής μηχανικής και εξηγεί φαινόμενα όπως η διπλή φύση της ύλης (σωματιδιακή και κυματική συμπεριφορά) και η κβαντική διεμπλοκή. Θέλεις να δούμε συγκεκριμένες εφαρμογές ή ερμηνείες της; 🚀

σύνδεση με τον χρόνο

Η κυματοσυνάρτηση Ψ συνδέεται άμεσα με τον χρόνο μέσω της εξίσωσης του Schrödinger, η οποία περιγράφει την εξέλιξη ενός κβαντικού συστήματος. Η χρονικά εξαρτώμενη μορφή της εξίσωσης είναι:

$$i\mathrm{\hslash }\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\partial }t}=\widehat{H}\mathrm{\Psi }i\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Psi\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash hat\{H\}\; \backslash Psi$$

όπου:

• $\mathrm{\hslash }\backslash hbar$ είναι η μειωμένη σταθερά του Planck,

• $\widehat{H}\backslash hat\{H\}$ είναι ο τελεστής της Χαμιλτονιανής (ολικής ενέργειας),

• $\mathrm{\Psi }\backslash Psi$ είναι η κυματοσυνάρτηση.

Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης καθορίζεται από την ενέργεια του συστήματος. Σε πολλές περιπτώσεις, αν το δυναμικό είναι χρονοανεξάρτητο, η λύση της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως:

$$\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})e^{-iEt\mathrm{/}\mathrm{\hslash }}\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash psi(\backslash mathbf\{r\})\; e^\{-i\; E\; t\; /\; \backslash hbar\}$$

όπου $EE$ είναι η ενέργεια του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι η κυματοσυνάρτηση εξελίσσεται με έναν φάσμα χρονικό παράγοντα, ο οποίος επηρεάζει τις πιθανότητες μέτρησης των κβαντικών καταστάσεων.

Αν θέλεις να δούμε συγκεκριμένες εφαρμογές ή ερμηνείες αυτής της σχέσης, πες μου! 🚀

Κβαντομηχανική: έννοιες και ερμηνευτικά ρεύματα - 2) Η κυματοσυνάρτηση και η εξίσωση Schrödinger / Δημήτρης Μουρούλης

Μπορείς να εξηγήσεις την έννοια της χρονικής εξέλιξης;

Η χρονική εξέλιξη στην κβαντική μηχανική αναφέρεται στην αλλαγή της κυματοσυνάρτησης Ψ ενός συστήματος με την πάροδο του χρόνου. Αυτή η εξέλιξη περιγράφεται από την εξίσωση του Schrödinger, η οποία καθορίζει πώς η κυματοσυνάρτηση μεταβάλλεται.

Βασικές αρχές της χρονικής εξέλιξης:

• Η κυματοσυνάρτηση εξελίσσεται ντετερμινιστικά σύμφωνα με την εξίσωση Schrödinger.

• Αν το σύστημα είναι απομονωμένο, η εξέλιξή του είναι μοναδική και προβλέψιμη.

• Σε πολλές περιπτώσεις, η λύση της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως:

$$\mathrm{\Psi }(\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})e^{-iEt\mathrm{/}\mathrm{\hslash }}\backslash Psi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash psi(\backslash mathbf\{r\})\; e^\{-i\; E\; t\; /\; \backslash hbar\}$$

όπου $EE$ είναι η ενέργεια του συστήματος, και $\mathrm{\hslash }\backslash hbar$ η μειωμένη σταθερά του Planck.

Φυσική σημασία:

Η χρονική εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης επηρεάζει τις πιθανότητες μέτρησης των κβαντικών καταστάσεων. Όταν πραγματοποιείται μια μέτρηση, η κυματοσυνάρτηση καταρρέει σε μία από τις πιθανές ιδιοκαταστάσεις του συστήματος.

Μπορείς να βρεις περισσότερες λεπτομέρειες και . Αν θέλεις να εξερευνήσουμε συγκεκριμένες εφαρμογές, πες μου! 🚀

Ποια είναι μερικά παραδείγματα χρονικής εξέλιξης στην κβαντική μηχανική;

Η χρονική εξέλιξη στην κβαντική μηχανική εμφανίζεται σε διάφορα φαινόμενα και συστήματα. Εδώ είναι μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα:

1. Διπλό φαινόμενο σχισμής: Όταν ένα σωματίδιο περνά μέσα από δύο σχισμές, η κυματοσυνάρτησή του εξελίσσεται χρονικά και δημιουργεί συμβολή, αποκαλύπτοντας την κυματική φύση της ύλης.

2. Κβαντική διεμπλοκή: Δύο σωματίδια που έχουν αλληλεπιδράσει μπορούν να παραμείνουν διεμπλεγμένα, και η μέτρηση του ενός επηρεάζει άμεσα την κατάσταση του άλλου, ανεξάρτητα από την απόσταση μεταξύ τους.

3. Χρονική εξέλιξη καταστάσεων δύο επιπέδων: Συστήματα όπως το κβαντικό bit (qubit) εξελίσσονται χρονικά μεταξύ δύο καταστάσεων, κάτι που είναι θεμελιώδες για την κβαντική υπολογιστική.

4. Κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής: Η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου σε ένα δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή εξελίσσεται με βάση τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας.

5. Διασπορά σωματιδίων: Όταν ένα σωματίδιο αλληλεπιδρά με ένα δυναμικό, η κυματοσυνάρτησή του εξελίσσεται χρονικά, επηρεάζοντας την πιθανότητα να βρεθεί σε διαφορετικές περιοχές του χώρου.

Μπορείς να βρεις περισσότερες λεπτομέρειες και . Αν θέλεις να εξερευνήσουμε κάποιο συγκεκριμένο φαινόμενο, πες μου! 🚀

Πες μου περισσότερα για την κβαντική διεμπλοκή.

Η κβαντική διεμπλοκή είναι ένα φαινόμενο της κβαντικής μηχανικής όπου δύο ή περισσότερα σωματίδια συνδέονται με τέτοιο τρόπο ώστε η κατάσταση του ενός να επηρεάζει άμεσα την κατάσταση του άλλου, ανεξάρτητα από την απόσταση μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι αν μετρήσουμε μια ιδιότητα του ενός σωματιδίου, η αντίστοιχη ιδιότητα του άλλου καθορίζεται ακαριαία.

Βασικές αρχές της κβαντικής διεμπλοκής:

• Τα διεμπλεγμένα σωματίδια μοιράζονται μια κοινή κυματοσυνάρτηση, ακόμα και αν βρίσκονται σε μεγάλες αποστάσεις.

• Η μέτρηση ενός σωματιδίου επηρεάζει άμεσα την κατάσταση του άλλου, χωρίς να υπάρχει φυσική σύνδεση μεταξύ τους.

• Το φαινόμενο αυτό παραβιάζει τη συμβατική αντίληψη της τοπικότητας, καθώς η πληροφορία φαίνεται να μεταδίδεται ακαριαία.

Ιστορικό και πειραματική επιβεβαίωση:

Το 1935, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, μαζί με τους Ποντόλσκι και Ρόζεν, παρουσίασαν το παράδοξο EPR, αμφισβητώντας την πληρότητα της κβαντικής μηχανικής. Ωστόσο, πειράματα όπως αυτά του John Bell και του Alain Aspect απέδειξαν ότι η διεμπλοκή είναι πραγματικό φαινόμενο και δεν μπορεί να εξηγηθεί με κρυμμένες μεταβλητές.

Εφαρμογές της κβαντικής διεμπλοκής:

• Κβαντική κρυπτογραφία: Χρησιμοποιείται για την ασφαλή μεταφορά πληροφοριών.

• Κβαντικοί υπολογιστές: Εκμεταλλεύονται τη διεμπλοκή για την εκτέλεση πολύπλοκων υπολογισμών.

• Κβαντικές τηλεμεταφορές: Επιτρέπουν τη μεταφορά κβαντικών καταστάσεων από ένα σημείο σε άλλο.

Μπορείς να βρεις περισσότερες λεπτομέρειες και . Αν θέλεις να εξερευνήσουμε συγκεκριμένες εφαρμογές, πες μου! 🚀

Ο Andrei Linde είναι Ρώσος-Αμερικανός θεωρητικός φυσικός, γνωστός για τη συνεισφορά του στη θεωρία του πληθωριστικού σύμπαντος. Είναι καθηγητής φυσικής στο Πανεπιστήμιο Stanford και έχει βραβευθεί με πολλά επιστημονικά βραβεία, όπως το Βραβείο Kavli και το Μετάλλιο Dirac.

Η δουλειά του επικεντρώνεται στη θεωρία του αιώνιου πληθωρισμού και στο πολυσύμπαν, έννοιες που επεκτείνουν το αρχικό μοντέλο του πληθωρισμού και υποδηλώνουν ότι το σύμπαν μας είναι μέρος ενός πολύ μεγαλύτερου συνόλου. Αν θέλεις να μάθεις περισσότερα, μπορείς να επισκεφθείς τη ή το . 🚀

θεωρία του αιώνιου πληθωρισμού

Η θεωρία του αιώνιου πληθωρισμού είναι μια επέκταση της πληθωριστικής θεωρίας του σύμπαντος, που προτάθηκε από τον Andrei Linde. Σύμφωνα με αυτήν, ο πληθωρισμός δεν είναι ένα μοναδικό γεγονός που συνέβη στο πρώιμο σύμπαν, αλλά μια συνεχής διαδικασία που δημιουργεί πολλαπλά σύμπαντα μέσα σε ένα μεγαλύτερο πολυσύμπαν.

Βασικές αρχές:

• Το σύμπαν μας είναι ένα από πολλά που δημιουργούνται μέσω πληθωριστικών διεργασιών.

• Ο πληθωρισμός συνεχίζεται σε διαφορετικές περιοχές του χωροχρόνου, οδηγώντας στη δημιουργία νέων συμπάντων.

• Αυτή η θεωρία συνδέεται με την έννοια του πολυσύμπαντος, όπου διαφορετικές περιοχές έχουν διαφορετικές φυσικές σταθερές και νόμους.

Επιστημονικές επιπτώσεις:

• Εξηγεί την ομοιογένεια και ισοτροπία του σύμπαντος.

• Προτείνει ότι η σκοτεινή ενέργεια μπορεί να είναι αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας.

• Δίνει μια πιθανή απάντηση στο ερώτημα γιατί το σύμπαν φαίνεται τόσο καλά ρυθμισμένο για την ύπαρξη ζωής.

Μπορείς να βρεις περισσότερες λεπτομέρειες και . Αν θέλεις να εξερευνήσουμε συγκεκριμένες πτυχές της θεωρίας, πες μου! 🚀

Stanford University -- Dept. of Physics -- Andrei Linde