Ο Masaki Kashiwara είναι ένας από τους πιο επιδραστικούς μαθηματικούς της εποχής μας, γνωστός για την πρωτοποριακή του δουλειά στη θεωρία των D-Modules. Μέσω αυτής της θεωρίας, κατάφερε να γεφυρώσει τις μαθηματικές ηπείρους της άλγεβρας και της ανάλυσης, προσφέροντας ένα νέο πλαίσιο για την κατανόηση των συστημάτων γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.
Αργότερα, η δουλειά του επεκτάθηκε και στη γεωμετρία, συνδέοντας την με τις άλλες δύο μαθηματικές ηπείρους. Η θεωρία των D-Modules έχει εφαρμογές στη γεωμετρική ανάλυση, την τοπολογία και την θεωρία αναπαραστάσεων, δημιουργώντας νέες δυνατότητες για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τη δομή και τις ιδιότητες των μαθηματικών αντικειμένων.
Αν θέλεις να εξερευνήσουμε περισσότερες λεπτομέρειες για τη δουλειά του Kashiwara ή τις εφαρμογές της θεωρίας του, είμαι εδώ για να βοηθήσω! 😊
Η θεωρία των D-Modules είναι ένα ισχυρό εργαλείο στα μαθηματικά που συνδέει την άλγεβρα, την ανάλυση και τη γεωμετρία. Πρόκειται για τη μελέτη μαθηματικών αντικειμένων που είναι στενά συνδεδεμένα με συστήματα γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Τα D-Modules επιτρέπουν την ταξινόμηση και τη βαθύτερη κατανόηση αυτών των συστημάτων μέσω του αλγεβρικού πλαισίου.
Η θεωρία αυτή εισήχθη και αναπτύχθηκε από τον Masaki Kashiwara και άλλους μαθηματικούς, και έχει σημαντικές εφαρμογές στην τοπολογική γεωμετρία, τη θεωρία αναπαραστάσεων, και τη γεωμετρική ανάλυση. Επιτρέπει την ανάλυση της δομής πολλαπλοτήτων και τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των γεωμετρικών και αναλυτικών χαρακτηριστικών τους.
Αν σε ενδιαφέρουν συγκεκριμένα τα D-Modules, όπως οι εφαρμογές τους στη θεωρία Hodge ή στη μελέτη των μοναδικοτήτων, μπορούμε να εμβαθύνουμε περισσότερο σε αυτά. 😊
Η θεωρία Hodge είναι ένα κεντρικό εργαλείο στη σύγχρονη μαθηματική γεωμετρία και συνδέεται με τη βαθιά κατανόηση της δομής των πολλαπλοτήτων μέσω της αλγεβρικής τοπολογίας και της γεωμετρίας. Εξετάζει πώς διαφορικές μορφές μπορούν να αναλυθούν σε πολλαπλότητες μέσω των Hodge decompositions, μια διαδικασία που περιγράφει τις σχέσεις μεταξύ της γεωμετρίας και της αναλυτικής δομής τους. Οι Hodge theory συμβάλλουν επίσης στη μελέτη των μοναδικοτήτων, δηλαδή των ειδικών σημείων ή περιοχών όπου οι γεωμετρικές ή τοπολογικές ιδιότητες των πολλαπλοτήτων αλλάζουν δραματικά.
Η μελέτη των μοναδικοτήτων είναι ιδιαίτερα σημαντική για την κατανόηση των γεωμετρικών αντικειμένων που εμφανίζουν ασυνέχειες, και η θεωρία Hodge προσφέρει εργαλεία για την ανάλυση και την κατηγοριοποίηση τους.
Αν θέλεις να εμβαθύνουμε περισσότερο στη θεωρία Hodge ή τις μοναδικότητες, πες μου πού να εστιάσουμε! 😊
Η κατανόηση των γεωμετρικών αντικειμένων με ασυνέχειες αποτελεί σημαντική πτυχή της γεωμετρίας και της τοπολογίας, καθώς αυτά τα αντικείμενα μας αποκαλύπτουν πλούσιες και ποικιλόμορφες πληροφορίες για τις δομές πολλαπλοτήτων και των χαρακτηριστικών τους.
Οι ασυνέχειες συχνά εμφανίζονται ως "μοναδικότητες" ή σημεία όπου οι κανονικές μαθηματικές ιδιότητες, όπως η ομαλότητα ή η συνδεσιμότητα, καταρρέουν. Αυτά τα σημεία είναι ζωτικής σημασίας για τη μελέτη της γεωμετρίας, καθώς παρέχουν ένα πλαίσιο για την κατανόηση φαινομένων όπως:
Οι μοναδικότητες σε πολλαπλότητες: Οι ασυνέχειες μπορούν να αποτελούν καθοριστικά σημεία για την ανάλυση πολυπλοκότητας της δομής ενός χώρου.
Γεωμετρικές εξελικτικές εξισώσεις: Χρήσιμες για τη μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων, όπου εμφανίζονται ασυνέχειες.
Εφαρμογές σε διαφορομορφισμούς: Η γεωμετρική τοπολογία παρέχει εργαλεία για να κατανοήσουμε πώς οι ασυνέχειες επηρεάζουν τις τοπολογικές ιδιότητες.
Η θεωρία Hodge και τα D-Modules είναι ισχυρά μαθηματικά εργαλεία που βοηθούν στην ανάλυση και κατηγοριοποίηση αυτών των γεωμετρικών δομών με ασυνέχειες. Αν θα ήθελες περισσότερες λεπτομέρειες ή να εξετάσουμε συγκεκριμένες εφαρμογές, είμαι εδώ για να εμβαθύνουμε! 😊
Οι διαφορομορφισμοί, που είναι ομαλές απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων, έχουν κρίσιμη σημασία στη γεωμετρία και την τοπολογία. Οι ασυνέχειες σε γεωμετρικά αντικείμενα επηρεάζουν την κατανόηση και τη χρήση των διαφορομορφισμών, και η θεωρία Hodge, καθώς και τα D-Modules, βρίσκουν εφαρμογές σε αυτό το πεδίο.
Εφαρμογές σε διαφορομορφισμούς:
Τοπολογική Ταξινόμηση: Μέσω εργαλείων όπως τα D-Modules, οι μαθηματικοί μπορούν να εξετάσουν πώς οι διαφορομορφισμοί μετασχηματίζουν πολλαπλότητες, ακόμη και στην παρουσία ασυνεχειών.
Ανάλυση Ροής Ricci: Οι διαφορομορφισμοί χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της ροής Ricci, που περιγράφει πώς η μετρική μιας πολλαπλότητας εξελίσσεται. Αυτό είναι βασικό στη γεωμετρική ανάλυση.
Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων: Σε συνδυασμό με τα D-Modules, οι διαφορομορφισμοί βρίσκονται στην καρδιά της κατανόησης συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων, ειδικά αυτών που προκύπτουν στη φυσική και την εφαρμοσμένη γεωμετρία.
Συμμετρίες και Ομάδες Lie: Μέσω διαφορομορφισμών, ανακαλύπτονται συμμετρίες σε πολλαπλότητες που συνδέονται με ομάδες Lie, παρέχοντας ισχυρά αποτελέσματα στη θεωρία αναπαραστάσεων.
Αν θέλεις να εμβαθύνουμε σε μια συγκεκριμένη εφαρμογή ή να δούμε παραδείγματα, είμαι εδώ για να βοηθήσω! 😊
Η ανάλυση της Ροής Ricci (Ricci Flow) είναι ένα πανίσχυρο εργαλείο στη διαφορική γεωμετρία και την τοπολογία. Εισήχθη από τον Richard S. Hamilton το 1982 και χρησιμοποιείται για να μελετηθεί πώς εξελίσσεται η μετρική σε μια πολλαπλότητα, επηρεαζόμενη από την καμπυλότητά της. Είναι βασική στη μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων πολλαπλοτήτων και έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην απόδειξη του Θεωρήματος της Ποίνκαρε από τον Grigori Perelman.
Πώς λειτουργεί: Η Ροή Ricci περιγράφεται από μια μερική διαφορική εξίσωση, όπου η μετρική μιας πολλαπλότητας εξελίσσεται μέσω:
όπου είναι ο τελεστής Ricci που μετρά την καμπυλότητα.
Εφαρμογές:
Απόδειξη της εικασίας της Ποίνκαρε: Η Ροή Ricci χρησιμοποιήθηκε από τον Perelman για να αποδείξει ότι κάθε τρισδιάστατη, απλά συνεκτική πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική σε μια τρισδιάστατη σφαίρα.
Κατηγοριοποίηση γεωμετρικών δομών: Παρέχει ένα εργαλείο για την ταξινόμηση πολλαπλοτήτων μέσω της γεωμετρικής ανάλυσης.
Φυσική και Γενική Σχετικότητα: Εφαρμόζεται σε μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν τη βαρύτητα και τη δομή του σύμπαντος.
Συνεχείς γεωμετρικές παραμορφώσεις: Βοηθά στη βελτίωση των γεωμετρικών ιδιοτήτων των πολλαπλοτήτων μειώνοντας τις ανωμαλίες στη μετρική τους.
Η Ροή Ricci, αν και απαιτεί προηγμένα μαθηματικά, είναι ένας απίστευτα ενδιαφέρων τομέας. Αν θέλεις να εμβαθύνουμε σε κάποια συγκεκριμένη εφαρμογή ή θεωρία, πες μου! 😊
Η Φυσική και η Γενική Σχετικότητα αποτελούν πεδία όπου η Ροή Ricci βρίσκει εφαρμογές σε θεμελιώδεις θεωρίες και μοντέλα. Η Γενική Σχετικότητα, όπως διατυπώθηκε από τον Albert Einstein, περιγράφει την βαρύτητα ως παραμόρφωση του χωροχρόνου από την μάζα και την ενέργεια. Η Ροή Ricci συμβάλλει σε αυτή τη θεώρηση μέσω μαθηματικών εργαλείων που εξελίσσουν γεωμετρικές ιδιότητες.
Εφαρμογές της Ροής Ricci στην Φυσική και την Γενική Σχετικότητα:
Καμπυλότητα χωροχρόνου: Η Ροή Ricci βοηθά στη μελέτη της καμπυλότητας του χωροχρόνου σε συστήματα με έντονη βαρύτητα, όπως μαύρες τρύπες και αστέρες νετρονίων.
Μοντελοποίηση κοσμολογικών δεδομένων: Χρησιμοποιείται για να εξετάσουμε πώς ο χωροχρόνος παραμορφώνεται σε κοσμολογικές κλίμακες, όπως στο πλαίσιο της μελέτης του πρώιμου Σύμπαντος.
Συνοριακές και τοπολογικές ιδιότητες: Η Ροή Ricci μπορεί να εφαρμοστεί στη μελέτη συνόρων μεταξύ διαστάσεων του χωροχρόνου, επηρεάζοντας την κατανόηση των πολλαπλοτήτων.
Εξέλιξη γεωμετρικών μοντέλων: Επιτρέπει την προσαρμογή των μοντέλων για καλύτερη περιγραφή φυσικών φαινομένων, ανακαλύπτοντας σημαντικές ιδιότητες γεωμετρικών μετασχηματισμών.
Αν σε ενδιαφέρει συγκεκριμένο πεδίο της Γενικής Σχετικότητας ή φυσικής, μπορώ να εμβαθύνω περισσότερο! 😊
Η καμπυλότητα του χωροχρόνου είναι μια κεντρική έννοια της Γενικής Σχετικότητας, που περιγράφει πώς η μάζα και η ενέργεια παραμορφώνουν το τετραδιάστατο πλέγμα του χωροχρόνου, επηρεάζοντας την κίνηση των αντικειμένων και της φωτός μέσα σε αυτό.
Η βασική ιδέα προέρχεται από τη θεωρία του Einstein, όπου η παρουσία μάζας ή ενέργειας προκαλεί την "καμπύλωση" του χωροχρόνου. Η καμπυλότητα περιγράφεται μαθηματικά μέσω του τανυστή καμπυλότητας Riemann και του τανυστή Ricci, που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν τις γεωμετρικές ιδιότητες και την εξελικτική πορεία του χωροχρόνου.
Σημαντικές Εφαρμογές:
Μαύρες Τρύπες: Η καμπυλότητα είναι κρίσιμη για την περιγραφή της δομής μιας μαύρης τρύπας, καθώς η βαρύτητα της δημιουργεί ακραία παραμόρφωση του χωροχρόνου.
Γαλαξιακή Δυναμική: Χρησιμοποιείται στη μελέτη κοσμολογικών μοντέλων, όπως το Big Bang και η εξέλιξη του Σύμπαντος.
Γεωμετρία του Σύμπαντος: Βοηθά στην περιγραφή των τύπων γεωμετρίας που μπορεί να έχει το Σύμπαν, όπως Ευκλείδεια, Υπερβολική, ή Σφαιρική.
Η καμπυλότητα αποτελεί το κλειδί για την κατανόηση φαινομένων όπως οι βαρυτικοί φακοί και τα κύματα βαρύτητας που εντοπίστηκαν πρόσφατα. Αν θες να εξερευνήσουμε περαιτέρω τις μαθηματικές ή φυσικές πτυχές της, θα χαρώ να εμβαθύνω! 😊
Η απόδειξη της Εικασίας της Ποίνκαρε αποτελεί ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στα μαθηματικά του 21ου αιώνα. Εισήχθη από τον Henri Poincaré το 1904 και αφορά την τοπολογία και τη γεωμετρία των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων.
Εικασία: Η τρισδιάστατη σφαίρα είναι η μοναδική κλειστή, απλά συνδεδεμένη τρισδιάστατη πολλαπλότητα. Με άλλα λόγια, κάθε τρισδιάστατη πολλαπλότητα που είναι απλά συνδεδεμένη (δεν έχει "τρύπες") είναι ισομορφική με μια σφαίρα.
Απόδειξη: Το 2003, ο Grigori Perelman χρησιμοποίησε τη Ροή Ricci και άλλα εξελιγμένα εργαλεία για να αποδείξει την εικασία, λύνοντας ένα από τα προβλήματα της λίστας των Millennium Problems του Clay Mathematics Institute. Παρόλο που η μαθηματική κοινότητα χρειάστηκε χρόνια για να επαληθεύσει πλήρως την απόδειξη, έγινε αποδεκτή και εδραιώθηκε ως θεώρημα.
Αυτή η απόδειξη είχε βαθιά επίδραση στα μαθηματικά, ανοίγοντας νέους δρόμους στη γεωμετρική ανάλυση και την τοπολογία. Θέλεις να εξερευνήσουμε κάποια συγκεκριμένη πτυχή της ή το πώς οι Ροές Ricci χρησιμοποιήθηκαν από τον Perelman; 😊
Ο Grigori Perelman χρησιμοποίησε τις Ροές Ricci με εξαιρετικά δημιουργικό τρόπο για να αποδείξει την Εικασία της Ποίνκαρε. Η μεθοδολογία του βασίστηκε στη χρήση των Ροών Ricci για την "εξομάλυνση" της γεωμετρίας μιας τρισδιάστατης πολλαπλότητας με την πάροδο του χρόνου. Ακολουθεί μια περίληψη της προσέγγισής του:
Κύριες Ιδέες:
Ροή Ricci με Χειρουργική:
Η Ροή Ricci εφαρμόζεται για να αλλάξει σταδιακά τη μετρική μιας πολλαπλότητας, μειώνοντας την καμπυλότητα.
Σε περιπτώσεις όπου η καμπυλότητα γίνεται "ακραία" (όπως στην εμφάνιση μοναδικοτήτων), ο Perelman εισήγαγε την ιδέα της "χειρουργικής". Αυτή περιλαμβάνει την αποκοπή των περιοχών υψηλής καμπυλότητας και την αντικατάστασή τους με τμήματα που είναι γεωμετρικά απλούστερα.
Εντροπία και Σταθερότητα:
Ο Perelman εισήγαγε νέες έννοιες, όπως τη "λειτουργία εντροπίας", για να κατανοήσει καλύτερα την εξέλιξη της Ροής Ricci. Η εντροπία αυτή διασφαλίζει ότι η πολλαπλότητα σταθεροποιείται και δεν καταρρέει κατά την εξέλιξη.
Απόδειξη Ομοιότητας με Σφαίρα:
Μέσω της Ροής Ricci, οι τρισδιάστατες πολλαπλότητες "εξομαλύνονται" σε τέτοιο βαθμό ώστε να αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε απλά συνδεδεμένη πολλαπλότητα είναι ουσιαστικά ισομορφική σε μια τρισδιάστατη σφαίρα.
Η Σημασία της Εργασίας του Perelman:
Η χρήση των Ροών Ricci από τον Perelman δεν ήταν απλώς μία μηχανική διαδικασία. Συνδύασε τη γεωμετρική ανάλυση, την τοπολογία, και τη θεωρία μοναδικοτήτων για να δημιουργήσει έναν νέο, ισχυρό τρόπο κατανόησης των γεωμετρικών δομών. Αυτή η πρωτοποριακή εργασία του χάρισε παγκόσμια αναγνώριση, αν και ο ίδιος αρνήθηκε τα βραβεία που του απονεμήθηκαν, όπως το Fields Medal και το βραβείο του Clay Mathematics Institute.
Αν θα ήθελες να αναλύσουμε κάποια συγκεκριμένη πτυχή της Ροής Ricci ή της προσέγγισης του Perelman, πες μου! 😊
Η προσέγγιση του Grigori Perelman στην απόδειξη της Εικασίας της Ποίνκαρε συνδύασε την εξαιρετική επιδεξιότητα στη γεωμετρική ανάλυση με την πρωτοποριακή χρήση των Ροών Ricci. Ξεχωρίζει ως ένα από τα πιο ευφυή και εφευρετικά μαθηματικά επιτεύγματα. Ας δούμε τις βασικές πτυχές της:
Βασικά Στοιχεία της Μεθόδου Perelman:
Ροή Ricci με Χειρουργική:
Ο Perelman ανέπτυξε την τεχνική της χειρουργικής, όπου ακραίες γεωμετρικές δομές που προκαλούν μοναδικότητες στις πολλαπλότητες "αφαιρούνται" και αντικαθίστανται από απλούστερες δομές. Αυτό επέτρεψε την συνεχή εξέλιξη της γεωμετρίας της πολλαπλότητας.
Θεμελιώδεις Καινοτομίες:
Εισήγαγε νέες έννοιες, όπως τη "λειτουργία εντροπίας" και τη "λειτουργία ενεπίπεδης εντροπίας" (reduced entropy), για να ελέγξει την εξέλιξη της Ροής Ricci. Αυτές οι ιδέες εξασφαλίζουν την σταθεροποίηση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών.
Συστηματική Εξομάλυνση:
Μέσω της Ροής Ricci, η γεωμετρία της πολλαπλότητας βαθμιαία "εξομαλύνθηκε," οδηγώντας σε μια κατάσταση όπου οι γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες της πολλαπλότητας καταδεικνύουν ότι είναι ισομορφική με την τρισδιάστατη σφαίρα.
Ανάλυση Μοναδικοτήτων:
Η μέθοδος του Perelman επιτρέπει την προσεκτική μελέτη των μοναδικών περιοχών της πολλαπλότητας, διασφαλίζοντας ότι η χειρουργική εφαρμογή δεν επηρεάζει την συνολική δομή της.
Ο Perelman ανέπτυξε εξαιρετικά λεπτομερείς αποδείξεις, ενώ απέφυγε την προβολή του εαυτού του ή τη συμμετοχή στην ακαδημαϊκή κοινότητα για αναγνώριση. Οι ιδέες του έχουν εδραιώσει τη γεωμετρική ανάλυση ως κεντρικό εργαλείο στην τοπολογία.
Αν θέλεις να δούμε μια συγκεκριμένη πτυχή της θεωρίας του ή την εφαρμογή της σε άλλες περιοχές, είμαι έτοιμος να βοηθήσω! 😊
Οι γεωμετρικές και τοπολογικές ιδιότητες της πολλαπλότητας που καταδεικνύουν ότι είναι ισομορφική με την τρισδιάστατη σφαίρα βρίσκονται στην καρδιά της Εικασίας της Ποίνκαρε. Ο Perelman, χρησιμοποιώντας τη Ροή Ricci με χειρουργική, κατάφερε να αποδείξει ότι κάθε τρισδιάστατη απλά συνδεδεμένη πολλαπλότητα, χωρίς "τρύπες", μπορεί να εξελιχθεί μέσω γεωμετρικής εξομάλυνσης σε μια τρισδιάστατη σφαίρα.
Αυτή η εξέλιξη βασίζεται σε:
Καμπυλότητα Ricci: Η ανάλυση της καμπυλότητας δείχνει πώς η γεωμετρία μπορεί να "αποσυμφορηθεί" σε απλούστερες μορφές.
Χειρουργική για μοναδικότητες: Σε περιοχές με ακραία καμπυλότητα, η χειρουργική επέμβαση αφαιρεί τις "ανωμαλίες" χωρίς να καταστρέφει την δομή της πολλαπλότητας.
Συμπαγοποίηση: Με την ομαλή εξέλιξη, αποδεικνύεται ότι η πολλαπλότητα τελικά έχει τις ιδιότητες της τρισδιάστατης σφαίρας.
Το αποτέλεσμα αυτό αναδεικνύει την ομορφιά και την δύναμη της γεωμετρικής τοπολογίας. Αν θέλεις να εξερευνήσουμε μια συγκεκριμένη τεχνική που χρησιμοποιήθηκε ή πώς συνδέεται αυτή η θεωρία με άλλες μαθηματικές έννοιες, πες μου! 😊
Μια σημαντική τεχνική που χρησιμοποιήθηκε από τον Grigori Perelman στην απόδειξη της Εικασίας της Ποίνκαρε ήταν η χειρουργική διαδικασία πάνω στη Ροή Ricci. Αυτή η μέθοδος επιτρέπει τη διαχείριση των μοναδικοτήτων που εμφανίζονται κατά την εξέλιξη της μετρικής μιας πολλαπλότητας μέσω της Ροής Ricci.
Πώς λειτουργεί η χειρουργική:
Εντοπισμός Μοναδικοτήτων:
Κατά την εξέλιξη της Ροής Ricci, εμφανίζονται περιοχές με υψηλή καμπυλότητα, που συχνά υποδηλώνουν μοναδικότητες (singularities). Αυτές είναι προβληματικές, καθώς μπορούν να διακόψουν την ομαλή εξέλιξη της μετρικής.
Αποκοπή και Αντικατάσταση:
Ο Perelman εφαρμόζει χειρουργική διαδικασία σε αυτές τις περιοχές. Αυτό περιλαμβάνει την "αποκοπή" των περιοχών υψηλής καμπυλότητας και την αντικατάστασή τους με απλούστερες γεωμετρικές δομές (όπως σφαίρες ή κυλίνδρους).
Συνέχιση της Ροής Ricci:
Μετά τη χειρουργική, η Ροή Ricci συνεχίζεται χωρίς παρεμβολές από τις μοναδικότητες, επιτρέποντας την περαιτέρω εξομάλυνση της μετρικής της πολλαπλότητας.
Ιδιαιτερότητες της Μεθόδου του Perelman:
Νέα Εντροπιακά Εργαλεία: Ο Perelman εισήγαγε έννοιες όπως η "λειτουργία εντροπίας" για να εξασφαλίσει ότι η Ροή Ricci εξελίσσεται με ελεγχόμενο τρόπο.
Ανακύκλωση Μοναδικοτήτων: Οι μοναδικότητες δεν διαγράφονται απλώς αλλά μετασχηματίζονται ώστε να ενσωματωθούν στη συνολική γεωμετρική δομή.
Η χειρουργική αυτή μέθοδος υπήρξε καθοριστική για την επιτυχία της απόδειξης, καθώς διαχειρίστηκε αποτελεσματικά τις προκλήσεις που παρουσίαζαν οι μοναδικότητες. Είναι ένα εργαλείο που έχει επηρεάσει βαθιά τη γεωμετρική τοπολογία και ανάλυση.
Αν σε ενδιαφέρει μια ακόμη πιο τεχνική προσέγγιση ή παραδείγματα από την εργασία του Perelman, μπορώ να συνεχίσω! 😊
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου
Σημείωση: Μόνο ένα μέλος αυτού του ιστολογίου μπορεί να αναρτήσει σχόλιο.