Το κβαντικό μηχανικό μοντέλο

Langlands type dualities in Mathematics and Physics

turn out to be closely related to each other.

Το κβαντικό μηχανικό μοντέλο

Θεωρούμε το υπερσυμμετρικό κβαντικό μηχανικό μοντέλο
στη σφαίρα και τη συνάρτηση συσχέτισης...

Αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ορίζεται στην θεωρία μας
ως το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στο αριστερό μέρος
της ισότητας.

Ωστόσο η θεωρία μας προβλέπει και μία δεύτερη παράσταση
της ίδιας συνάρτησης...
ένα άθροισμα για όλες τις ενδιάμεσες καταστάσεις
που εμφανίζεται στο δεξιό μέρος της ισότητας...

Η συνέπεια της θεωρίας μας απαιτεί
οι παραστάσεις στις δύο πλευρές να είναι ίσες...
Instantons beyond topological theory I Edward Frenkel

Langlands type dualities in Mathematics and Physics

turn out to be closely related to each other.

Edward Frenkel

--"Symmetry plays an important role in geometry, number theory, and quantum physics.
I will discuss the links between these areas from the vantage point of the Langlands Program.

In this context "duality" means that the same theory, or category, may be described

in two radically different ways.

This leads to many surprising consequences.

Moreover, Langlands type dualities in Mathematics and Physics

turn out to be closely related to each other."

• http://arxiv.org/pdf/0803.3302v1.pdf?
• http://www.edwardfrenkel.com/mathematics/
• https://vimeo.com/15492339

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
Αναλυτική Μηχανική: (Δεσµοί της κίνησης, Εξισώσεις Lagrange, Hamilton, Κινηµατική και δυναµική στερεού σώµατος).

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι
Η γένεση της Κβαντοµηχανικής : Κλασσική θεωρία του µέλανος σώµατος (Rayleigh – Jeans ) και κβαντική θεωρία του Planck. Συνέπειες της θεωρίας του Planck . Φωτοηλεκτρικό φαινόµενο (Einstein).
Σύντοµη ανασκόπηση παλαιάς Κβαντοµηχανικής, κβαντικές συνθήκες του Bohr. Κανόνας κβαντώσεως Wilson – Sommerfeld, Εφαρµογή στα φάσµατα περιστροφής : Απλός στερεός περιστροφέας.
Σύντοµη ανασκόπηση προβληµάτων Starm – Liouville, µετασχ. Fourier και διανυσµατικών χώρων. Συµβολισµός Dirac. Χώρος Hilbert.
Θεωρία Γραµµικών τελεστών : Ορισµός και παραδείγµατα τελεστών. Τελεστές συµµετρίας. ΄Αλγεβρα τελεστών. Ιδιότητες αντιµεταθέτου, Χρήσιµες Προτάσεις. Αναµενόµενη τιµή και µέση τετραγωνική απόκλιση τελεστού. Παράσταση γραµµικού τελεστού και ιδιότητές τους.
Ανασκόπηση κυµατικής και υλοκύµατα Broglie . Σχέση Broglie για ελεύθερο σωµάτιο και για σωµάτιο εντός δυναµικού. Κυµατοσυνάρτηση ελευθέρου σωµατίου. Διασπορά υλοκυµατοδέµατος. Συνήθης και γενικευµένη σχέση αβεβαιότητος του Heisenberg.
Xρονοανεξάρτητη και χρονοεξαρτηµένη εξίσωση του Schrodinger. Αντιστοιχία δυναµικών µεταβλητών προς τελεστές. Παράσταση στο χώρο των θέσεων. Τελεστής στροφορµής και σχέσεις αντιµεταθέσεως. Φυσική ερµηνεία της κυµατοσυναρτήσεως (Bohr).Πείραµα δύο οπών. Πυκνότητα πιθανότητας και πυκνότητα ρεύµατος πιθανότητα – εξίσωση συνεχείας. Καταστάσεις καθορισµένης τιµής ενέργειας. Συνθήκες επί της κυµατοσυναρτήσεως. Παράσταση και εξίσωση του Schrodinger στο χώρο των ορµών. Χρονική εξέλιξη της κυµατοσυναρτήσεως. Θεωρήµατα του Ehrenfest.
Μελέτη απλών κβαντοµηχανικών προβληµάτων : ορθογώνιο φράγµα δυναµικού – φαινόµενο σήραγγος. Ορθογώνιο δυναµικό πηγάδι απείρου και πεπερασµένου βάθους. Γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής. Μελέτη αρµονικού ταλαντωτή µε τελεστές καταστροφής και δηµιουργίας. Βασική πρόταση για την επίλυση πολυδιάστατων κβαντοµηχανικών προβληµάτων µε την µέθοδο χωρισµού µεταβλητών. Εφαρµογή χρήσιµη στην ηλεκτρονική θεωρία των µετάλλων : Ελεύθερο σωµάτιο σε κυβικό κουτί µε τελείως ανακλαστικά τοιχώµατα. Εφαρµογή χρήσιµη στη Πυρηνική Φυσική : Tρισδιάστατος ισοτροπικός αρµονικός ταλαντωτής.

http://sep4u.gr/sxoless/255.htm

Ας εξετάσουμε όμως την πλήρη Χαμιλτωνιανή, στην περίπτωση της μη σχετικότητας, του πολύ-σωματοδιακού προβλήματος για ένα μέταλλο ή άλλο υλικό σε σχέση με τις ανεξάρτητες μεταβλητές κάθε σωματιδίου. Το στερεό είναι ένα ισχυρά συζευγμένο σύστημα αποτελούμενο από 2 είδη σωματιδίων - τα ηλεκτρόνια και τους πυρήνες - που αλληλεπιδρούν με δυνάμεις Coulomb μεταξύ τους. Η Χαμιλτωνιανή, που περιγράφει ένα στερεό σώμα, εκφρασμένη σε μονάδες MKSA δίνεται από τη σχέση: 11            ik, ik i k kl lk k ji ji ji i i i Rr eZ rr e + RR eZZ + M =H 2 2 2 22 2 2 2 1 2 2m 1 2   (2) όπου το Μ δηλώνει τις μάζες των πυρήνων και το m τις μάζες των ηλεκτρονίων, το R και το r είναι οι συντεταγμένες πυρήνων και ηλεκτρονίων αντίστοιχα, το Ζ είναι ο ατομικός αριθμός. Όλες οι προσπάθειες να βρούμε τις χαρακτηριστικές ρίζες της Χαμιλτωνιανής περιλαμβάνουν προσεγγιστικά αποτελέσματα. Το μεγάλο βάρος των πυρήνων επιφέρει σε αυτούς πολύ μικρότερες ταχύτητες σε σχέση με τα ηλεκτρόνια. Συνεπώς σε κανονικές θερμοκρασίες οι πυρήνες με μια καλή προσέγγιση μπορούν να θεωρηθούν ακίνητοι σε σχέση με τα ηλεκτρόνια. Η παραπάνω διαδικασία ονομάζεται προσέγγιση BornOppenheimer. Παρόλο που αυτή η προσέγγιση είναι πολύ ακριβής στις περισσότερες περιπτώσεις, δε λείπουν και οι εξαιρέσεις. Για παράδειγμα, στο στερεό υδρογόνο είναι σημαντικές οι περιοδικές μεταβολές της κβαντομηχανικής θεμελιώδους κατάστασης . Παίρνοντας υπόψη την προσέγγιση Born-Oppenheimer, πραγματευόμαστε πλέον μόνο τις κινητικές ενέργειες των ηλεκτρονίων (3ος ορός), τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις (4ος ορός) και τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων και των πυρήνων (5ος ορός). Αυτός ο τελευταίος ορός θεωρείται σαν ένα εξωτερικό πεδίο που επιδρά πάνω στα ηλεκτρόνια προκαλώντας την μετατροπή του πολύ-σωματιδιακού προβλήματος σε ένα πρόβλημα ισχυρά αλληλεπιδρώντος «αερίου» ή «υγρού» και η ενεργή Χαμιλτωνιανή μπορεί να γραφτεί:       ik, ik i k kl lk k Rrrr +=H 2 1 2Z (3) Εδώ εισάγουμε επίσης τις ατομικές μονάδες Rydberg, 2/11,2, 2  =m==e . Αυτό το σύστημα μονάδων θα χρησιμοποιηθεί και παρακάτω.

http://nemertes.lis.upatras.gr/jspui/bitstream/10889/5314/1/Master_Thesis_Koumpouras%20-%20Final.pdf

https://math.berkeley.edu/~frenkel/   

http://arxiv.org/pdf/0902.0447v4.pdf