Το θεώρημα του Θεού

Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί 

τους φιλοσόφους και τους θεολόγους

 εδώ και δεκάδες αιώνες.

Δύο ευρωπαίοι μαθηματικοί, 

χρησιμοποιώντας έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή 

και τη σχετική θεωρία του αυστριακού μαθηματικού Κουρτ Γκέντελ, κατάφεραν να αποδείξουν μαθηματικά την ύπαρξη του Θεού!

Το κατόρθωμα των δύο Ευρωπαίων μαθηματικών, 

του Γερμανού Κρίστοφ Μπεντζμίλερ (Christoph Benzmüller)

 και του Αυστριακού Μπρούνο Βολτσενλόγκελ Παλέο (Bruno Woltzenlogel Paleo), ήταν ότι κατάφεραν  να αναπαραστήσουν τα αξιώματα του Γκέντελ 

και τους συλλογισμούς του με μαθηματικά σύμβολα.

Στη συνέχεια, με τη βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού

που χειρίζεται έννοιες λογικής σε ηλεκτρονικό υπολογιστή,

μπόρεσαν αφενός μεν να διαπιστώσουν ότι τα αξιώματα

δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις

 και αφετέρου να επιβεβαιώσουν 

την απόδειξη του θεωρήματος.

Το θεώρημα του Θεού:

Λίγο πριν από τον θάνατό του ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) δημοσιοποίησε μια μαθηματική απόδειξη

για την ύπαρξη του Θεού την οποία επεξεργαζόταν επί 30 χρόνια.

Η απόδειξη αυτή βασίζεται στη σύγχρονη αξιωματική θεμελίωση

 των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αποτελεί συνέχεια 

της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης 

και της Γεωμετρίας του Ευκλείδη.

Σε αυτόν τον τρόπο θεμελίωσης

 ξεκινάμε με τη διατύπωση αξιωμάτων, 

δηλαδή υποθέσεων που δεν αποδεικνύονται 

αλλά φαίνονται προφανείς.

Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των αξιωμάτων

 και της Μαθηματικής Λογικής,

 μπορούμε να αποδείξουμε θεωρήματα 

και να οικοδομήσουμε μια ολόκληρη θεωρία.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, πέρα από το καθαρά μαθηματικό μέρος,

η βάση της απόδειξης του Γκέντελ

περί της υπάρξεως του Θεού δεν ήταν εντελώς καινούργια 

αφού έμοιαζε με το επιχείρημα του άγγλου θεολόγου

 και φιλοσόφου του 11ου αιώνα Ανσέλμου του Καντέρμπουρι, 

το οποίο, με τη σειρά του, βασίζεται στη μέθοδο

 της «εις άτοπον απαγωγής» 

των αρχαίων Ελλήνων φιλοσόφων και μαθηματικών.

Ο συλλογισμός του Ανσέλμου ήταν ο εξής:

1. Ο Θεός είναι η υπέρτατη ύπαρξη.

2. Η ιδέα του Θεού υπάρχει στη σκέψη μας.

3. Μια ύπαρξη που υπάρχει τόσο στη σκέψη όσο και στην πραγματικότητα είναι ανώτερη από μια ύπαρξη που υπάρχει μόνο στη σκέψη.

4. Αν ο Θεός υπήρχε μόνο στη σκέψη μας, τότε θα μπορούσαμε να συλλάβουμε την ιδέα μιας ανώτερης ύπαρξης η οποία υπάρχει και στην πραγματικότητα.

5. Αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια ύπαρξη ανώτερη από τον Θεό.

6. Άρα ο Θεός υπάρχει στην πραγματικότητα.

Η βασική συνεισφορά του Γκέντελ ήταν η μαθηματική περιγραφή 
του παραπάνω συλλογισμού και ειδικά των σημείων 3 και 4.

Εκεί χρησιμοποίησε την έννοια της πιθανής αλήθειας μιας πρότασης, 
η οποία επεκτείνει την αριστοτελική λογική 
που δέχεται ότι μια πρόταση είναι
είτε αληθής είτε ψευδής.

1+1 κάνουν 2;

Ο Γκέντελ έγινε διάσημος σε νεαρή ηλικία όταν διατύπωσε
 το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας».

Συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι ότι, 
στο πλαίσιο της «Απλής Αριθμητικής» των ακεραίων αριθμών, 
η οποία βασίζεται σε αξιώματα όπως το γνωστό «1+1=2»,
υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να διαπιστώσουμε
αν αληθεύουν ή όχι βασιζόμενοι μόνο στα αξιώματα αυτά.

Οι προτάσεις αυτές χαρακτηρίζονται από μια αυτοαναφορά 
και το πιο γνωστό ανάλογό τους στο πλαίσιο της απλής λογικής
είναι το παράδοξο του αρχαίου έλληνα φιλοσόφου Ευβουλίδη, 
σύμφωνα με το οποίο «αν κάποιος παραδεχθεί ότι ψεύδεται,
αυτό που λέει είναι αλήθεια ή ψέμα;».

Η πρόταση αυτή οδηγεί σε φαύλο κύκλο, 
αφού αν η πρόταση είναι αληθής
 συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας ψεύδεται 
ενώ αν η πρόταση είναι ψευδής
 συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας λέει την αλήθεια. (1)





Ο Γκέντελ τελικά καταλήγει στην εξής διατύπωση για το θεώρημα της μη πληρότητας:
 κάθε σύστημα αξιωμάτων περιλαμβάνει προτάσεις 
τις οποίες ΔΕΝ μπορούμε να διερευνήσουμε
 αν είναι αληθείς ή ψευδείς, 
με τα μέσα που μας δίνει το ίδιο το σύστημα.

Με άλλα λόγια, για να μπορέσουμε να αποδείξουμε 
τις αξιωματικές αυτές προτάσεις 
πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο σύστημα αξιωμάτων
ακόμα πιο ευρύ, που να περιέχει το προηγούμενο.

 Έτσι όμως, μένουμε και πάλι με την αδυναμία μας
 να αποδείξουμε  το ευρύτερο αυτό σύστημα,
 και χρειαζόμαστε κάτι ακόμα ευρύτερο. 

Τελικά φαίνεται ότι η γνώση μας για το κάθε τι 
πάντα θα απαιτεί περισσότερα στοιχεία, 
που αναγκαστικά θα μας δίνονται 
μόνο απ' έξω από το υπό μελέτην σύστημα.

Με αυτό το θεώρημα, ο Γκέντελ έθεσε τέλος 
στην αναζήτηση της βεβαιότητας στα μαθηματικά, 
αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει βεβαιότητα
 και δεν μπορεί να υπάρξει, 
όπως ακριβώς είχε κάνει ο Χάιζενμπεργκ στην φυσική.

Το θεώρημα της μη πληρότητας, αποδεικνύει ουσιαστικά
 ότι ακόμη και στα μαθηματικά, το απώτατο προπύργιο του ορθολογισμού,
 η αποδεικτική δύναμη της Λογικής έχει όρια.

 Ότι δηλαδή σε κάθε θεωρία, όσο καλο-δομημένη κι αν είναι, 
με όσα μη αντιφατικά αξιώματα κι αν εξοπλισθεί, 
θα μείνουν πάντα αλήθειες μη-αποδείξιμες, 
απροσπέλαστες απ’ τη μέθοδο του «ένα και ένα κάνουν δύο».

 Αυτό φυσικά διόλου δεν σημαίνει ότι το θεώρημα δείχνει 
πως η Λογική είναι σαθρό εργαλείο. Καθόλου. 
Βάζει όμως φραγμό στην παντοδυναμία της.

Το θεώρημα της μη πληρότητας έχει στενή συγγένεια
 με αρκετά αποτελέσματα σχετικά 
με τα μη αποφασίσιμα σύνολα στη θεωρία αναδρομής, 
η οποία αποτελεί κεντρικό πυλώνα της επιστήμης υπολογιστών.

Από μια άλλη άποψη το θεώρημα αυτό δείχνει 
πως για να μπορέσει να καταλάβει
 πλήρως το σύμπαν πρέπει να το θεωρήσει 
παρατηρώντας το από μια θέση έξω απ' αυτό. 

Μέσα στο σύμπαν υπάρχουν όρια για την κατανόηση του.
 Μήπως λοιπόν είναι ανώφελο να ψάχνουμε για να βρούμε
 όλες τις απαντήσεις για τον Κόσμο μας; 
μήπως τα μυστικά του Κόσμου είναι καλά κρυμμένα
 για τις οντότητες που είναι μέσα σε αυτόν; (2)

1: Ο κ. Χάρης Βάρβογλης είναι καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ.

2:http://gravitonio.blogspot.gr/2011/09/blog-post_12.html